Arithmetic - Floating Point Representation

Perwakilan titik apungan

·       Perwakilan bagi nombor bukan kamilan

·       Termasuk nombor yang sangat besar dan kecil

·       Nombor titik-apungan merupakan nombor yang mengandungi satu bahagian pecahan.

·       Perwakilan titik apungan mempunyai dua bahagian:

       i.            Mantissa(nombor titik tetap)

    ii.            Eksponen

·       Tatatanda:

y = a + bⁿ

* y = nombor yang hendak dibentangkan

* a = mantissa
* b = asas bagi sistem nombor (Cth: b = 10 merupakan perpuluhan dan b = 2    

        merupakan dedua)

* n = kedudukan tituk perpuluhan atau dedua

^·         Contoh: 0.004783 = 4.783 x 10^-3

Normalisasi

• Normalisasi merupakan perbuatan bagi memindahkan bahagian pecahan untuk membuat sedikit kiri titik pecahan adalah satu. Semasa pemindahan ini, eksponen adalah dinaikkan.
• Nombor yang dinormalkan merupakan nombor yang mempunyai “MSB” 1 iaitu berada di bit yang paling daripada kiri bahagian pecahan.

·       Contoh: 6.98 x 10^-2

• Nombor “denormalized” bertentangan dengan nombor yang dinormalkan iaitu “MSB” 1 tidak berada di bit yang paling daripada kiri bahagian pecahan

·       Contoh: 43.23 x 10²

• Sebahagian operasi memerlukan bidang eskponen yang sama dengan semua operand seperti penolakan. Oleh sebab itu, salah satu daripada operand harus “denormalized”.
• Nombor “denormalized” mempunyai fungsi yang penting dalam sesetengah operasi dan nombor.

Piawaian IEEE  

·       Diperkenalkan oleh “Institute of Electrical and Electronics Engineers” (IEEE)

·       Merupakan piawaian yang digunakan secara luas dalam pengiraan titik-apungan dan banyak perkakasan seperti unit pemprosesan pusat (UPP) .

3 versi bagi piawaian IEEE:

       i.            Piawaian IEEE  754-1985

·       Versi yang pertama

·       Diterbitkan pada tahun 1985

·       Untuk binari aritmetik titik-apungan

    ii.            IEEE Standard 854-1987

·       Versi yang kedua

·       Diterbitkan pada tahun 1987

·       Untuk bebas-“radix” aritmetik titik-apungan

 iii.            IEEE Standard 754-2008

·       Versi yang terkini

·       Diterbitkan pada tahun Ogos 2008

·       Gabungan Piawaian IEEE 754-1985 dan Piawaian IEEE 854-1987

Piawaian IEEE-754  

·       Merupakan satu piawaian yang digunakan untuk menyukat titik-apungan

·       Piawaian ini menyatakan:

·       Format asas dan lanjutan nombor titik-apungan

·       Tambah, tolak, darab, bahagi, punca kuasa dua, lebihan dan  perbandingan antara operasi

·       Penukaran antara format titik-apungan dengan “integer”

·       Penukaran antara format titik-apungan yang berbeza

·       Penukaran antara format asas nombor titik-apungan dengan rentetan perpuluhan titik-apungan

·       Pengecualian titik-apungan dan pengendalian mereka termasuk bukan nombor

Piawaian IEEE-754 bagi Binari Aritmetik Titik-Apungan

·       Setiap format bagi nombor titik apungan mengandungi tiga komponen yang asas:

       i.            Tanda(0 merupakan positif dan 1 merupakan negatif)

    ii.            Pecahan

 iii.            Eksponen

Pelbagai format asas bagi piawaian IEEE 754

·       Terdapat 5 format yang asas yang dinamakan berdasarkan asas mereka dan bilangan bits yang digunakan untuk menterjemahakan mereka:

                                       i.            Ketepatan Tunggal

                                   ii.            Ketepatan Berganda

                                iii.            Kuad

                                 iv.            Berganda

                                    v.            Kuad

           

Parameter (nama format)	b asas	P         (bits atau angka)	emax
Binari32	2	23+1 bits	+127
Binari64	2	52+1 bits	+1023
Binari128	2	112+1 bits	+16383
Perpuluhan64	10	16 angka	+384
Perpuluhan128	10	34 angka	+6144

               * b = asas

               * p = ketepatan

               * emax = eksponen maksimum 

Pengecualian dalam Piawaian IEEE 754

Pengecualian	Disebabkan oleh	Akibat
Limpahan	Operasi menghasilkan nombor yang besar
“Underflow”	Operasi menghasilkan nombor yang kecil	0
Dibahagikan oleh sifar	x/0
Tidak sah	Operasi yang dinafikan	NaN
Tidak tepat	Bukan keputusan yang tepat	Budar (x)

Rounding modes

• Piawaian memerlukan cara pembudaran seperti:

·    Budar terhadap terdekat

                                                       i.            Budar kepada genap yang terdekat

                                                     ii.            Budar integer separuh daripada sifar

                                                  iii.            Pepat kepada “integer” terhadap sifar

·       Budar kepada sifar

·       Budar kepada +¥

·        Budar kepada -¥.

Rujukan:

1.http://www.reocities.com/SiliconValley/pines/6639/docs/fp_summary.html

2.    William Stallings,2006. Computer Organization and Architecture:Singapore.

3.    http://twins.ee.nctu.edu.tw/~tjlin/courses/co01/IEEE754.pdf

Written by

TAN SIN YEE

B031210297