Arithmetic - Floating Point

Formula bagi floating point precision adalah seperti berikut:

Floating point number representation in MIPS is as shown below : 

s     = sign of floating point ( 1= negative, 0 = positive)

fraction       = the numbers after the decimal after normalized number.

exponent     = actual exponent + bias

Eg :   134.590 = 1.34590 x  10² , 2 is the actual exponent.

bias             => for single precision = 127

                    = > for double precision = 1023

Example for floating point example :

Represent –0.75

1.     Disebabkan angka ini adalah angka negatif, jadi s = 1

2.     0.75   x 2 =1.5      => 1

0.50   x 2 =1.0      => 1

-0.75= -1.1 x 2^-1

 Fractionnya ialah 1000…00

3.     Bagi single precision, exponent= actual exponent + 127

     = -1+127 = 126

          Bagi double precision, exponent = -1 + 1023 = 1022

4.     Jadi , representation floating point bagi :

Example 2 : Converting binary to decimal floating point

Find the decimal number represented by this single precision float.

Floating Point Addition

Tambahan floating point adalah amat serupa dengan tambahan nombor biasa, dengan hanya menambah beberapa langkah sahaja.

Langkah pertama adalah menjadikan number floating point untuk memiliki exponent yang sama. Keutamaan exponent adalah mengikut exponent yang lebih besar antara kedua-dua nombor terlibat.

Langkah kedua adalah menambah kedua-dua nombor itu.

Ketiga, jika jumlah tambahan bukan dalam normalized scientific notation, adjustkannya menjadi bentuk normalize.

Langkah keempat ialah adjustkannya kepada bits yang ditetapkan dalam soalan jika ada.

Bagi tambahan binary floating point, satu langkah ditambah selepas langkah ketiga, iaitu menyemak sama ada kewujudan overflow dan underflow berlaku yang mana ia bergantung dengan precision operand. Jika tiada berlakunya overflow dan underflow, melanjut ke langkah keempat. Jika berlaku, pengecualian berlaku. Berikut adalah contoh-contoh tambahan floating point.

Example 1:

9.999_tenx 10¹ + 1.610_ten x 10^-1 (4 decimal digit of significand)

Langkah 1: exponent  1 dan -1, dengan keutamaannya, 1 akan digunakan sebagai exponent persamaan.

Jadi, 1.610_ten x 10^-1, titik perpuluhan bergerak ke belakang dan menjadi 0.016_tenx10¹.

Langkah 2 : tambahkan kedua-duanya.

          9.999_tenx 10¹  +  0.016_tenx10¹= 10.015_ten x 10¹

Langkah 3 : oleh sebab normalized scientific notation hanya melingkungi 1-9, jawapan perlu adjust.

          10.015_ten x 10¹   = 1.0015_ten x 10²

Langkah 4 : soalan tetapkan 4 decimal digit, jadi, kena bundarkan jawapan.

          1.0015_ten x 10²   = 1.002_ten x 10²

Example 2

Adding 0.5₁₀ and -0.4375₁₀in binary.

Pertama, tukarkan nombor floating point kepada floating point asas 2.    

          0.5₁₀ x 2 = 1.0      , bermaksud 0.5₁₀ = 0.1₂    = 1.0 x 2^-1

          -0.4375₁₀ x 2 = -0.875   ==> 0

          -0.875 x 2 = -1.75          ==> 1

          -0.75 x 2 = -1.5              ==> 1

          -0.5 x 2 = -1.0                ==> 1

          Therefore, -0.4375₁₀ = -0.0111₂  =  -0.111 x 2^-1

Langkah kedua, tambahkan kedua-duanya.

          (1 x 2^-1 ) + ( - 0.111 x 2^-1) = 0.001 x 2^-1

Ketiga, normalize jawapan.

          0.001₂ x 2^-1 = 1.0₂x 2^-4

          -126 <= -4<= 127, tiada overflow atau underflow, melanjut ke langkah empat.

Langkah empat, bundarkan jawapan kepada 4 digit bagi menjadi 1.000₂ x 2^-4.

          1.000₂ x 2^-4 = 0.0001₂ = -0.0625₁₀

Floating Point Multiplication

Bagi pendaraban nombor floating point, ia adalah lebih kurang sama dengan pendaraban biasa dan juga langkah bagi tambahan.

Langkah pertama, tambahkan biased exponent kedua-dua nombor dan tolak bias daripada jumlah bagi mendapatkan biased exponent baru.

Langkah kedua, darabkan nombor-nombor berkenaan.

Ketiga, normalize jawapan jika perlu. Kemudian, memeriksa sama ada kewujudan overflow dan underflow berlaku. Jika tiada, melanjut ke langkah keempat. Jika ada, pengecualian berlaku.

Langkah keempat, bundarkan significand kepada bits yang dinyatakan dalam soalan. Jika jawapan sudah ada dalam bentuk normalize, lanjut ke langkah kelima, jika tidak, normalizekannya lagi.

Langkah kelima, tandakan sign positif jika sign operand original adalah same. Jika tidak sama, tandakan negatif.

Example 1: Binary Floating Point Multiplication

Multiply 0.5_ten and -0.4375_ten.

Pertama, tukarkan nombor floating point kepada floating point asas 2.

          0.5₁₀ x 2 = 1.0      ,bermaksud 0.5₁₀ = 0.1₂   = 1.0 x 2^-1

          -0.4375₁₀ x 2 = -0.875   ==> 0

          -0.875 x 2 = -1.75          ==> 1

          -0.75 x 2 = -1.5              ==> 1

          -0.5 x 2 = -1.0                ==> 1

Jadi, -0.4375₁₀ = -0.0111₂  =  -0.111₂ x 2^-1  = -1.11₂ x 2^-2

Tambah biased exponent.

          (-1+127) + (-2+127) + 127 = 126 + 125 – 127 = 124

Kedua, darab kedua-dua nombor itu.

                             1.000₂

                   X       1.110₂

                                                    

                               0000

                             1000

                           1000  

                        1000   

                                           

                        1110000₂

                                                    

Jawapan adalah 1.11₂ x 2^-3

Ketiga, jawapan telah berada dalam bentuk normalize, lanjut kepada pemeriksaan kewujudan overflow atau underflow.

254>=124>=1, tiada overflow dan underflow.

Langkah keempat, bundarkan jawapan. Tiada perubahan dalam kes ini.

Langkah kelima, jawapan tidak sama dengan operand original, tandakan sign negatif di depannya.

                   -1.11₂ x 2^-3

Written by,

QUEK XIN YI

B031210203